KISTI의 과학향기

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KISTI의 과학향기
겹치지 않는 무한 패턴은 가능할까?
수학계 50년 난제,
비주기적 타일링 해결되다
제공: David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, and Chaim Goodman-Strauss, 2023 
글 김청한 과학칼럼니스트
디자인 동아S&C

 

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욕실 타일, 보도블록, 벽지 같은 일상 속 무늬부터
경복궁, 알함브라 궁전 같은 전통 건축물까지

우리는 수많은 반복 패턴을 
어렵지 않게 접할 수 있다.

 

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그런데 이런 타일링이
수학계에선 50년도 넘은 어려운 문제다.

일정한 모양이 반복되는 일반 타일링이 아닌,
비슷하면서도 다른 형태로 끝없이 평면을 채우는
비주기적 타일링(aperiodic tiling) 얘기다.

 

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비주기적 타일링을 얻기 위한 
학자들의 노력은 1963년부터 가시화됐다. 

미국 수학자인 로버트 버거가 
도형 2만 426개를 동원해 반복된 형태 없이
평면을 채울 수 있음을 증명한 것이다.

 

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이후 많은 학자들이
비주기적 타일링 문제에 도전했다.

그러다 1974년 수학자 겸 물리학자인
로저 펜로즈가 단 2개의 도형만으로
비주기적 타일링을 구현하는 데 성공했다.

 

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‘도형 하나로 비주기적 타일링 구현하기’는
대표적 수학 난제 중 하나로
많은 이들의 머리를 괴롭혔다.

그런데 최근 50여 년 만에
이에 대한 실마리가 풀렸다.

 

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주인공은 바로, 
영국 아마추어 수학자 데이비드 스미스와 그의 연구팀이다. 

연구팀은 13각형 도형을 바탕으로 패턴이 겹치지 않는 
무한 평면 배치가 가능함을 증명해
학술지 네이처(Nature)에 발표했다.

 

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연구진은 도형의 이름을 아인슈타인이라 명명했는데,
과학자 ‘아인슈타인’과 ‘하나의 돌(ein+stein)’을 
동시에 뜻하는 상징적 명칭이다.

아인슈타인은 지난 3월 연구진이 공개한
13각형 도형 ‘모자(hat)’를 조금 변형시킨 것이다.

 

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연구진은 출판 전 논문 공유 사이트 아카이브(arXiv)에서
모자를 통해 비주기적 타일링이 가능함을 증명한 바 있다. 

모자를 여러 개 연결해 메타타일(metatile)을 만들고,
이를 모아 슈퍼타일(supertile)이 되는 과정을 반복하며
해당 작업이 무한히 계속될 수 있음을 보여준 것이다. 

 

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다만 지난 3월 발표에선 ‘모자’와 함께 
‘좌우를 바꾼 모자’까지 총 2개 형태가 있어야
이러한 무한 형성이 가능했다. 

이에 모자의 모양을 보완해
하나의 형태로도 비주기적 타일링을 
구현한 것이다.

 

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도형 하나로 구현 가능한 비주기적 타일링은 
수학은 물론 공학에서도 중요도가 높다.

같은 구조 형태가 반복되는 것을 막아
소재의 내구성을 높이는 데 기여할 수 있기 때문이다.

비주기적 타일링과 특히나 연관 깊은 
준결정(quasicrystal) 구조는
신소재공학의 중요한 연구 분야 중 하나다.

 

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원자 배열이 규칙적인 결정과 
그렇지 않은 비정질의 중간단계로서
마찰력이 적고 강도가 높아
코팅 소재를 만드는 데 유리하기 때문이다.

준결정 구조는 
골프채, 면도날, 프라이팬 같은 생활용품부터
엔진 단열재에 이르기까지 그 활용도가 높다.

 

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풀리지 않았던 수학의 신비가 하나씩 밝혀지고
일상 속 소재와도 연관되는 것을 보면
수학이 이론에서 벗어나 현실에서도 무궁무진하게
활용될 수 있다는 것을 
다시금 상기하게 된다.