KISTI의 과학향기

피자를 어떻게 나누면 공평하게 먹을 수 있을까? 또는 더 많이 먹을 수 있을까?

오래전부터 많은 수학자들이 연구했던 단골문제다. 대부분 사람들은 피자를 자를 때 나타나는 모든 선이 원의 중심을 지나가게끔 긋는다. 이때에는 내가 먹은 양이 개수에 비례한다. 하지만 만약 이 선들이 원의 중심을 지나지 않는다면 어떻게 될까? 피자 조각마다 크기가 서로 다를 것이다. 물론 이때에는 내가 가장 많이 먹고 싶다면 무조건 크기가 큰 조각만 골라먹으면 된다. 하지만 모든 사람이 같은 생각을 하고 있다면 결국 누가 가장 많이 먹었는지 알 수 없다. 이렇게 식탐이 가득한 문제를 구체적으로 연구한 괴짜 수학자들이 있었다.

 

 

미국 루이지애나주립대의 수학자 릭 마브리 박사와 미국 사우스이스트 미주리주립대의 수학자인 폴 다이어만 박사는 어떻게 하면 피자를 공평하게 나눌 수 있을지 연구했다. 물론 피자를 자를 때 생기는 모든 선이 원의 중심을 지나도록 한다면 똑같이 나누기가 쉽다. 하지만 이 수학자들은 선들이 원의 중심이 아닌 다른 점을 중심으로 지날 경우를 연구했다.

 

그들은 피자를 자를 때 그은 선의 개수에 주목했다. 피자 대신 종이에 커다란 원을 그리고 원의 중심이 아닌 다른 점을 중심으로 선을 그었다. 그리고 부채꼴들을 흰색, 회색, 흰색, 회색… 으로 번갈아 색칠했다.

 

연구 결과 피자를 4번 이상의 짝수로 잘랐을 경우에는 흰색 부분과 회색 부분의 총량이 같다는 것을 발견했다. 하지만 4번 이상의 홀수로 잘랐을 경우에는 원의 중심이 들어 있는 색깔 부분의 총량이 훨씬 많았다. 예를 들어 피자를 5번 잘랐는데, 원의 중심이 회색 부분에 들어 있다면 회색 부분의 총량이 흰색 부분의 총량보다 훨씬 많은 셈이다.

 

 

피자를 3회 이하로 잘랐을 때는 선들이 원의 중심을 지나는 경우에만 총량이 같았다. 만약 선들이 원의 중심을 지나지 않는다면, 원의 중심이 들어 있는 색깔의 총량이 훨씬 많았다. 그러니까 상대방보다 내가 피자를 더 많이 먹으려면 선을 몇 번 그어 피자를 잘랐는지 센 다음, 원점이 어디에 속하는지 확인해야 한다.

 

마브리 박사와 다이어만 박사는 원의 중심을 지나도록 선을 긋거나, 짝수 번 자른 경우에는 서로 마주보는 조각끼리 대칭을 이뤄 넓이가 같아진다고 설명했다. 그들은 자르는 선이 원의 중심을 지나지 않거나 홀수 번 잘랐을 경우, 선의 개수 같은 조건에 따라 크기가 어떻게 달라지는지를 여러 가지 수학식으로 나타냈다. 또 피자 조각이 부채꼴이 되도록 잘랐을 때와 길쭉한 막대 모양으로 잘랐을 때 넓이가 어떻게 달라지는지도 연구했다.

 

 

피자를 부채꼴로 자르는 방식이 식상하다면 새로운 모양을 생각해보자. 수학자들은 예로부터 부채꼴을 변형시킨 곡선으로 자르는 방법을 떠올렸다. 하지만 실제로 칼을 이용해 피자를 곡선 모양으로 자르는 일이 보통 어려운 일이 아니다.

 

그래서 영국 과학자들은 부채꼴이 아닌 다각형으로 피자를 똑같이 나누는 방법을 연구했다. 리버풀대 수학자인 조엘 해들리와 스티븐 워슬리 박사는 원의 중심을 기준으로 좌우 대칭인 다각형을 빙 두르듯이 이어붙이는 방식을 떠올렸다.

 

연구진은 다각형이 만드는 각의 크기와 개수, 내각의 합 사이의 관계를 수학적으로 찾았다. 다각형의 꼭짓점이 2n개일 때 좌우 대칭인 n각형 2n개로 나눌 수 있다는 사실을 알아낸 것이다. 이때 정다각형의 꼭짓점이 많아질수록 전체적으로 원에 가까워진다. 즉, 피자를 자르기에 안성맞춤인 것이다.

 

 

캐나다 구엘프대를 졸업하고 유튜브와 인스타그램 등 SNS에서 재미나고 기발한 과학상식을 알리는 미첼 모핏과 그레고리 브라운은 피자의 반지름으로 넓이를 구하고 가격대비 어떤 것이 훨씬 효율적인지 설명했다.

 

그들은 스몰 사이즈는 반지름이 약 4인치로 넓이는 50제곱인치 정도이고, 라지 사이즈는 반지름이 약 8인치로 넓이는 200제곱인치 정도라고 밝혔다. 라지 사이즈는 스몰 사이즈에 비해 넓이가 약 4배 정도인 셈이다.

 

하지만 피자 체인점에서 내놓은 가격들을 살펴봤더니 가격은 라지 사이즈가 스몰 사이즈에 비해 더 비싸긴 해도 4배까지 차이 나지는 않았다. 즉 라지 사이즈가 훨씬 양이 많고 효율적인 셈이다(아래 QR코드를 스마트폰으로 비추면 모핏과 브라운이 직접 설명하는 동영상을 볼 수 있다).

 

 

글 : 이정아 과학칼럼니스트